Introdução: Métodos de espaço de estados para modelagem de design de controlador Existem várias maneiras diferentes de descrever um sistema de equações diferenciais lineares. A representação do espaço de estados foi introduzida na seção Introdução: Modelagem de Sistemas. Para um sistema SISO LTI, a forma do espaço de estados é dada abaixo: onde x é um vetor de 1 representando o estado (geralmente posição e variável de velocidade em sistemas mecânicos), u é um escalar representando a entrada (geralmente uma força ou torque em sistemas mecânicos), e y é um escalar representando a saída. As matrizes A (n por n), B (n por 1) e C (1 por n) determinam as relações entre o estado e as variáveis de entrada e saída. Note que existem n equações diferenciais de primeira ordem. A representação de espaço de estados também pode ser usada para sistemas com múltiplas entradas e saídas (MIMO), mas usaremos apenas sistemas SISO (single-input, single-output) nesses tutoriais. Para introduzir o método de projeto do espaço de estados, usaremos a bola magneticamente suspensa como exemplo. A corrente através das bobinas induz uma força magnética que pode equilibrar a força da gravidade e fazer com que a bola (que é feita de um material magnético) seja suspensa no ar. A modelagem deste sistema foi estabelecida em muitos livros de controle (incluindo Sistemas de Controle Automático por B. C. Kuo, a sétima edição). As equações para o sistema são dadas por: onde h é a posição vertical da bola, i é a corrente através do eletroímã, V é a tensão aplicada, M é a massa da bola, g é a gravidade, L é a indutância, R é a resistência e K é um coeficiente que determina a força magnética exercida na bola. Por simplicidade, escolheremos valores M 0.05 Kg. K 0,0001. L 0,01 H. R 1 Ohm. g 9,81 m / seg2. O sistema está em equilíbrio (a bola está suspensa no ar) sempre que h K i 2 / Mg (ponto em que dh / dt 0). Nós linearizamos as equações sobre o ponto h 0,01 m (onde a corrente nominal é cerca de 7 amp) e obtemos as equações do espaço de estados: é o conjunto de variáveis de estado para o sistema (um vetor 3x1), u é a tensão de entrada (delta V ), ey (a saída), é delta h. Digite as matrizes do sistema em um arquivo m. Estabilidade Uma das primeiras coisas que queremos fazer é analisar se o sistema de malha aberta (sem qualquer controle) é estável. Como discutido na seção Introdução: Análise do Sistema, os autovalores da matriz do sistema, A (equivalente aos pólos da função de transferência) determinam a estabilidade. Os autovalores da matriz A são os valores de s onde det (sI - A) 0. Um dos pólos está no plano da metade da direita (ou seja, tem parte real positiva, o que significa que o sistema é instável em malha aberta. Para verificar o que acontece com esse sistema instável quando há uma condição inicial diferente de zero, adicione o seguinte linhas para o seu arquivo m e novamente: Parece que a distância entre a bola e o eletroímã irá para o infinito, mas provavelmente a bola bate na mesa ou no chão primeiro (e provavelmente também sai da faixa onde nossa linearização é Controllability e Observabilidade Um sistema é controlável se existe uma entrada de controle, u (t), que transfere qualquer estado do sistema para zero em tempo finito. Pode ser mostrado que um sistema LTI é controlável se, e somente se, A matriz de controlabilidade, CO, tem posto completo (isto é, se rank (CO) n onde n é o número de estados).O rank da matriz de controlabilidade de um modelo LTI pode ser determinado em MATLAB usando o rank de comandos (ctrb (A, B )) ou rank (ctrb (sys)). Todas as variáveis de estado de um sistema podem não pode ser diretamente mensurável, por exemplo, se o componente estiver em um local inacessível. Nesses casos, é necessário estimar os valores das variáveis de estado interno desconhecidas usando apenas as saídas do sistema disponíveis. Um sistema é observável se o estado inicial, x (t0), puder ser determinado a partir da saída do sistema, y (t), durante algum tempo finito t0 lt t lt tf. Para os sistemas LTI, o sistema é observável se, e somente se, a matriz de observabilidade, OB, tiver posto completo (ou seja, se a classificação (OB) n, em que n é o número de estados). A observabilidade de um modelo de LTI pode ser determinada em MATLAB usando a classificação de comando (obsv (A, C)) ou rank (obsv (sys)). Controlabilidade e observabilidade são conceitos duplos. Um sistema (A, B) é controlável se e somente se um sistema (A, C, B, D) é observável. Este fato será útil ao projetar um observador, como veremos abaixo. Projeto de Controle Usando Posicionamento de Pólo Permite construir um controlador para este sistema usando posicionamento de pólo. O esquema de um sistema de feedback de estado completo é mostrado abaixo. Por estado completo, queremos dizer que todas as variáveis de estado são conhecidas pelo controlador em todos os momentos. Por exemplo, neste sistema, precisaríamos de um sensor medindo a posição da esfera, outra velocidade de medição e uma terceira corrente de medição no eletroímã. Por simplicidade, vamos supor que a referência seja zero, R0. A entrada é então As equações de espaço de estado para o sistema de feedback de malha fechada são, portanto, O desempenho de domínio de tempo e estabilidade do sistema de feedback de malha fechada é determinado principalmente pela localização dos pólos (autovalores) da matriz (A-BK) ). Como as matrizes A e BK são ambas matrizes 3 por 3, haverá 3 polos para o sistema. Ao escolher uma matriz K apropriada, podemos colocar esses pólos de malha fechada onde quisermos. Podemos usar o local da função MATLAB para encontrar a matriz de controle, K, que fornecerá os polos desejados. Antes de tentar este método, temos que decidir onde queremos que os polos de malha fechada sejam. Suponha que os critérios para o controlador foram tempo de estabilização de 0,5 segundo e overshoot lt 5, então poderíamos tentar colocar os dois pólos dominantes a -10 / -10i (em zeta 0,7 ou 45 graus com sigma 10 gt 4,62). O terceiro pólo que podemos colocar a -50 para começar, e podemos mudá-lo mais tarde, dependendo do que é o comportamento de loop fechado. Remova o comando lsim do seu arquivo m e tudo depois dele e adicione as seguintes linhas ao seu arquivo m. O overshoot é muito grande (há também zeros na função de transferência que podem aumentar o overshoot que você não vê os zeros na formulação do espaço de estados). Tente colocar os polos mais à esquerda para ver se a resposta transitória melhora (isso também deve tornar a resposta mais rápida). Desta vez, o overshoot é menor. Consulte o seu livro para mais sugestões sobre como escolher os polos de malha fechada desejados. Compare o esforço de controle exigido (K) em ambos os casos. Em geral, quanto mais você mover os polos, mais esforço de controle será necessário. Nota: Se você quiser colocar dois ou mais postes na mesma posição, o local não funcionará. Você pode usar uma função chamada acker que funciona de maneira semelhante ao local: K acker (A, B, p1 p2 p3) Introduzindo a entrada de referência Agora, vamos pegar o sistema de controle como definido acima e aplicar uma entrada de passo (escolhemos um valor pequeno para o passo, então permanecemos na região onde nossa linearização é válida). Substitua t, ue lsim em seu arquivo m com o seguinte: O sistema não acompanha bem o passo não é apenas a magnitude nem um, mas é negativo em vez de positivo. Lembre-se do esquema acima, nós não comparamos saída para a referência, em vez disso, medimos todos os estados, multiplicamos pelo vetor de ganho K e depois subtraímos esse resultado da referência. Não há razão para esperar que Kx seja igual à saída desejada. Para eliminar este problema, podemos escalar a entrada de referência para torná-la igual a Kx steadystate. Este fator de escala é freqüentemente chamado de Nbar e é apresentado como mostrado no seguinte esquema: Podemos obter Nbar a partir do MATLAB usando a função rscale (coloque a seguinte linha de código após K.). Note que esta função não é padrão no MATLAB. Você precisará fazer o download aqui, rscale. m. e salve-o no seu espaço de trabalho atual. Agora, se quisermos encontrar a resposta do sistema sob feedback de estado com esta introdução da referência, simplesmente notamos o fato de que a entrada é multiplicada por este novo fator, Nbar. e agora um passo pode ser rastreado razoavelmente bem. Design do observador Quando não podemos medir todos os estados x (geralmente o caso na prática), podemos construir um observador para estimá-los, enquanto medimos apenas a saída y C x. Para o exemplo da bola magnética, adicionaremos três novos estados estimados ao sistema. O esquema é o seguinte: O observador é basicamente uma cópia da planta que tem a mesma entrada e quase a mesma equação diferencial. Um termo extra compara a saída real medida y com a saída estimada que isso fará com que os estados estimados se aproximem dos valores dos estados reais x. A dinâmica do erro do observador é dada pelos pólos de (A-LC). Primeiro, precisamos escolher o ganho do observador L. Como queremos que a dinâmica do observador seja muito mais rápida do que o próprio sistema, precisamos posicionar os pólos pelo menos cinco vezes mais à esquerda do que os pólos dominantes do sistema. Se quisermos usar o lugar. precisamos colocar os três polos observadores em locais diferentes. Devido à dualidade entre controlabilidade e observabilidade, podemos usar a mesma técnica usada para encontrar a matriz de controle, mas substituindo a matriz B pela matriz C e assumindo as transpostas de cada matriz. As equações no diagrama de blocos acima são dadas para hat. É convencional escrever as equações combinadas para o sistema mais o observador usando o estado original x mais o estado do erro: e x - hat. Usamos como feedback do estado. Depois de um pouco de álgebra (consulte o seu livro-texto para mais detalhes), chegamos ao estado combinado e equações de erro com o feedback de estado total e um observador. Para ver como a resposta parece para uma condição inicial diferente de zero sem entrada de referência, adicione as seguintes linhas ao seu arquivo-m. Normalmente, assumimos que o observador começa com zero condição inicial, hat 0. Isso nos dá que a condição inicial para o erro é igual à condição inicial do estado. As respostas de todos os estados são plotadas abaixo. Lembre-se que lsim nos dá xe e para obter o chapéu. precisamos calcular x - e. Podemos ver que o observador estima os estados rapidamente e rastreia os estados bem no estado estacionário. Published with MATLABreg 7.14Stata 14 NOVO O Stata 14 é um pacote estatístico completo e integrado que oferece tudo o que você precisa para análise de dados, gerenciamento de dados e gráficos. O Stata não é vendido em módulos, o que significa que você obtém tudo o que precisa em um único pacote. OxMetrics OxMetrics fornece uma solução integrada para a análise econométrica de séries temporais, previsão, modelagem econométrica financeira ou análise estatística de dados de seção e painel. EViews NOVO O EViews 9 oferece a pesquisadores acadêmicos, corporações, agências governamentais e estudantes acesso a poderosas ferramentas estatísticas, de previsão e de modelagem por meio de uma interface orientada a objetos inovadora e fácil de usar. O Forecast Pro Forecast Pro é um software de previsão rápido, fácil e preciso para profissionais de negócios. GAUSS GAUSS é um conjunto rápido, poderoso e altamente adaptável de software e ferramentas analíticas. O NVivo NVivo é um software que suporta pesquisas de métodos qualitativos e mistos. Ele permite coletar, organizar e analisar o conteúdo. Robert A. Yaffee (Universidade de Nova York) Robert A. Yaffee, Ph. D. Atualmente é cientista pesquisadora / professora de pesquisa na Silver School of Social Work, Universidade de Nova York e pesquisadora sênior / estatistica na National Science Foundation conceder 0826983 para estudar as seqüelas psicológicas do acidente de Chernobyl em colaboração com co-pesquisadores principais na Universidade do Colorado, Universidade Estadual do Colorado e na Academia do Trabalho e Relações Sociais, Federação dos Sindicatos, em Kiev, Ucrânia. Robert Yaffee está atualmente trabalhando em vários projetos de pesquisa longitudinais. Esses projetos envolvem análise de dados em painel, análise de histórico de eventos, análise de séries temporais, modelos de espaço de estados, mapeamento de doenças Bayesianas e análise de risco. Robert Yaffee ministrou cursos de curta duração sobre análise de séries temporais introdutórias, intermediárias e avançadas, análise de volatilidade e previsão. Robert Yaffee é o autor de uma variedade de artigos revisando pacotes estatísticos e atualmente está escrevendo sobre análise e previsão de séries temporais aplicadas. O Consultor de Capacitação de Formadores Robert Yaffee oferece atualmente o curso de duas partes: Uma Introdução à Análise e Previsão de Séries de Tempo e Análise e Previsão de Séries de Tempo, além de liderar Tópicos Avançados em Modelos de Espaço de Estado e Análise Física Dinâmica. Em 2016, celebramos vinte e cinco anos de distribuição e suporte ao Stata para usuários na Irlanda do Reino Unido. Estamos muito orgulhosos da nossa estreita relação de trabalho com. Compre nosso evento de fim de semana A partir de meia-noite de quinta-feira, 24 de novembro até a meia-noite de segunda-feira, 28 de novembro de 2016, use os seguintes códigos de desconto em timberlake. co. uk para. Econometria financeira O uso do Stata por Simona Boffelli e Giovanni Urga fornece uma excelente introdução à análise de séries temporais e como fazer isso no Stata for Financial. A região do Oriente Médio e Norte da África (MENA) sofre com a disponibilidade de dados e a qualidade dos dados. Qualquer esforço para coletar, limpar e apresentar dados sobre a região é um bem. O 4º Encontro do Grupo de Usuários Stata da Polônia acontece na segunda-feira, 17 de outubro de 2016, no SGH Escola de Economia de Varsóvia, Varsóvia, Polônia. O objetivo do Stata Users Group Meeti. A GOLCER Islamic Banking e Finance Summer School apresenta um programa inovador e versátil que foi projetado para aqueles que buscam embarcar ou estão atualmente matriculados em pesquisas de pós-graduação em finanças islâmicas. Entregues pela StataCorp, os NetCourses são cursos convenientes baseados na Web para o aprendizado do Stata. Nosso curso de Fundamentos do Stata fornece uma introdução completa ao Stata para o novo usuário e é ideal para os usuários novos ou iniciantes que desejam ter uma vantagem inicial e aprender a usar o Stata com eficiência. Este curso de dois dias passará pelo nível básico e intermediário de gerenciamento de dados para pessoas interessadas em usar o Stata para pesquisa e gostaria de melhorar suas habilidades de gerenciamento de dados. Um guia para vrias metodologias economtricas utilizadas para modelar os fatos estilizados de sries temporais. Modelos lineares univariados e multivariados de sries temporais foram usados como modelos ARMA, modelos de sries temporais, VAR e VEC. Modelos no lineares para a mídia e variância serológica como as modelos SETAR, GARCH e também modelos multivaridados de volatilidade da classe MGARCH. Aplicaes a gerenciamento de risco, Finanas Empricas, Taxas de Juros e Taxas de Cmbio sero durante o curso. Estado de Projeto do Estado-Espaço para Sistemas de Controle Índice 1. Equações do Estado-Estado Existem várias maneiras diferentes para descrever um sistema linear equações diferenciais. A representação do espaço de estados é dada pelas seguintes equações: Nessas equações, x é um vetor n-por-1 representando o estado (comumente posição e variável de velocidade em sistemas mecânicos), u é um escalar representando a entrada (geralmente uma força ou torque em sistemas mecânicos), e y é um escalar representando a saída. As matrizes A (n por n), B (n por 1) e C (1 por n) determinam as relações entre o estado e a variável de entrada e saída. Note que existem n equações diferenciais de primeira ordem. A representação de espaço de estados também pode ser usada para sistemas com múltiplas entradas e saídas (MIMO), mas usaremos apenas sistemas SISO (single-input, single-output) nesses tutoriais. Para introduzir o método de projeto do espaço de estados, usaremos a bola magneticamente suspensa como exemplo. A corrente através das bobinas induz uma força magnética que pode equilibrar a força da gravidade e fazer com que a bola (que é feita de um material magnético) seja suspensa no ar. A modelagem deste sistema foi estabelecida em muitos livros de controle (incluindo Sistemas de Controle Automático por B. C. Kuo, sétima edição). Figura 1: Modelo de bola magneticamente suspensa As equações para o sistema são dadas por: Nestas equações, h é a posição vertical da bola, i é a corrente através do eletroímã, V é a tensão aplicada, M é a massa da esfera g é a gravidade, L é a indutância, R é a resistência e K é um coeficiente que determina a força magnética exercida sobre a bola. Por simplicidade, escolheremos valores M 0,05 Kg, K 0,0001, L 0,01 H, R 1 Ohm, g 9,81 m / seg2. O sistema está em equilíbrio (a bola está suspensa no ar) sempre que h K i 2 / Mg (ponto em que dh / dt 0). Nós linearizamos as equações sobre o ponto h 0,01 m (onde a corrente nominal é de cerca de 7 amp) e obtemos as equações do espaço de estados: Neste sistema, 160 é o conjunto de variáveis de estado para o sistema (um vetor 3x1), u é a entrada tensão (delta V), ey (a saída), é delta h. Abordagem Higráfica Gráfica / MathScript Para usar este sistema no LabVIEW, crie um novo VI e insira um nó MathScript (da paleta Structures). Digite as matrizes do sistema usando o seguinte código: 160 2. Encontrando os Pólos do Sistema Uma das primeiras coisas que você quer fazer com as equações de estado é encontrar os pólos do sistema. Estes são os valores de s onde det (sI - A) 0, ou os autovalores da matriz A. Abordagem Higráfica Gráfica / MathScript Para fazer isso usando a abordagem de programação híbrida gráfica / MathScript, adicione o CD Map Pole-Zero VI ao diagrama de blocos (na seção Dynamic Characteristics da paleta Control Design). Crie uma saída do modelo de espaço de estados a partir do seu nó MathScript e use-a como entrada para o VI do mapa do Pole-Zero do CD. Crie um indicador das saídas Pole-Zero Map e Poles do VI CD Map Pole-Zero, para que você possa visualizar os pólos no painel frontal. Abordagem do LabVIEW MathScript Alternativamente, se você estiver usando a janela do MathScript, digite o seguinte comando: Resultado Você deve achar que o sistema possui polos em -100, 31.305 e -31.305. Um dos pólos está no meio plano da direita, o que significa que o sistema é instável em malha aberta. Abordagem Higráfica Gráfica / MathScript Para verificar o que acontece com este sistema instável quando existe uma condição inicial diferente de zero, podemos usar o CD Linear Simulation VI (da seção Time Response da paleta Design de Controle). Vamos observar o sistema usando uma entrada zero, com um incremento de tempo de 0,01 segundo ao longo de um tempo de simulação de 2 segundos (200 pontos de entrada). Figura 3: Condição Inicial Diferente de Zero (Download) Abordagem do LabVIEW MathScript Alternativamente, você pode conseguir isso na Janela do MathScript adicionando as seguintes linhas ao código anterior: Resultado Figura 4: Resposta de Loop Aberto a Condição Inicial Não Zero A linha verde no gráfico na Figura 4 mostra-se que a distância entre a bola e o eletroímã irá para o infinito, mas a bola provavelmente atinge a mesa ou o piso primeiro (e provavelmente também sai da faixa onde nossa linearização é válida). 160 3. Design de Controle Usando Posicionamento de Pólo Permite criar um controlador para este sistema. O esquema de um sistema de realimentação de estado total é o seguinte: Figura 5: Sistema de Realimentação de Estado Completo Lembre-se de que o polinômio característico para este sistema de malha fechada é o determinante de (sI - (A-BK)). Como as matrizes A e BK são ambas matrizes 3 por 3, haverá 3 polos para o sistema. Usando feedback de estado total, podemos colocar os pólos em qualquer lugar que quisermos. Poderíamos usar a função acker do MathScript para encontrar a matriz de controle, K, que fornecerá os polos desejados. Antes de tentar este método, temos que decidir onde queremos que os polos de malha fechada sejam. Suponha que os critérios para o controlador foram tempo de estabilização de 60 0,5 segundos e superação 60 5. Poderíamos então tentar colocar os dois pólos dominantes a -10 / - 10i (em zeta 0,7 ou 45 graus com sigma 10 62 4,62). Podemos colocar o terceiro pólo a -50 para começar, e podemos mudá-lo mais tarde, dependendo de qual é o comportamento do circuito fechado. Abordagem Higráfica Gráfica / MathScript Para encontrar o comportamento de malha fechada com esses polos, adicione o seguinte código ao seu Nó MathScript (usando o sistema que criamos anteriormente): K acker (A, B, p1 p2 p3) Adicione o CD Simulação Linear VI observar o comportamento em malha fechada. Figura 6: Comportamento de Loop Fechado com Posicionamento de Posicionamento (Download) Abordagem do LabVIEW MathScript Como alternativa, insira o seguinte código se estiver usando a Janela do MathScript: 160 Resultado Figura 10: Posição da Esfera (m) versus Tempo (s) com Entrada de Referência não acompanha bem o passo não é apenas a magnitude nem um, mas é negativo em vez de positivo Lembre-se que no esquema acima, nós não comparamos a saída com a referência em vez disso, medimos todos os estados, multiplicamos pelo vetor de ganho K e, em seguida, subtraia esse resultado da referência. Não há razão para esperar que Kx seja igual à saída desejada. Para eliminar esse problema, podemos escalar a entrada de referência para torná-la igual a Kxsteadystate. Este fator de escala é freqüentemente chamado de Nbar e é apresentado como mostrado no seguinte esquema: Figura 11: Sistema com entrada escalonada Podemos calcular Nbar usando a função customizada rscale. Note que esta função não é nativa do LabVIEW MathScript. Você precisará baixar o arquivo m para usá-lo. Baixe este arquivo e salve-o na sua pasta LabVIEW Data (geralmente localizada em My Documents LabVIEW Data). Em seguida, abra a janela do MathScript (Tools MathScript Window). Selecione File Load Script e selecione o arquivo rscale. m. Finalmente, selecione File Save e Compile Script. Agora você pode usar essa função personalizada como um comando no MathScript. Uma vez que queremos encontrar a resposta do sistema sob feedback de estado com esta introdução da referência, simplesmente notamos o fato de que a entrada é multiplicada por este novo fator, Nbar. Abordagem Higráfica Gráfica / MathScript Usando o VI da Figura 9, adicione a seguinte linha de código: Crie uma saída do Nó MathScript para Nbar e dimensione o sinal de entrada por este fator. Figura 12: Diagrama de blocos para sistema com entrada de referência em escala (Download) Abordagem LabVIEW MathScript Como alternativa, você pode conseguir isso usando a janela MathScript. Adicione o seguinte código ao que você inseriu anteriormente:
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